[하루 5분 중등수학] 제곱근의 곱셈과 나눗셈 증명

<제곱근의 곱셈 증명>

이전 글에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해 공부했었습니다.

루트 안에 숫자를 곱하고 나눈 뒤 다시 루트를 씌웠습니다

하지만 그때 왜 그렇게 되는지에 대해서는 증명하지 않고 넘어갔었는데요,

이번 글에서 왜 그렇게 되는지 증명해 보겠습니다

 

\(a, b > 0\) 이면 \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)가 되는 것을 증명하면 됩니다

먼저 \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} \)를 제곱시켜 보겠습니다

$$ (\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \times (\sqrt{a} \times \sqrt{b})$$

이때 실수의 곱셈에서도 교환법칙, 결합법칙이 성립하기에

$$(\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \times (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) = (\sqrt{a} \times \sqrt{a}) \times (\sqrt{b} \times \sqrt{b})$$

$$(\sqrt{a} \times \sqrt{a}) \times (\sqrt{b} \times \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b$$

정리해보자면

$$ (\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = a \times b$$

 

어디서 많이 본 모양이지 않나요?

맞아요 첫 시간에 제곱근의 의미를 공부할 때 비슷한 형태를 봤었죠

\(x^2 = a\)일 때 x를 a의 제곱근이라고 하기로 했습니다(x가 양수이면 양의 제곱근)

자 그럼 다시 원래 증명 과정으로 돌아와서

$$ (\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = a \times b $$

이면 \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\)은 \(a \times b\)의 양의 제곱근이 됩니다

이때 우리가 제곱근은 어떻게 표시하기로 했나요?

a의 양의 제곱근은 \(\sqrt{a}\) 이렇게 나타내기로 했습니다

 

그렇다면 다 왔습니다!

\(a \times b\)의 양의 제곱근은 \(\sqrt{ab}\)라고 나타낼 수 있겠네요

그런데 \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\)은 \(a \times b\)의 양의 제곱근이므로

$$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

가 성립하게 되는 것이죠!

 

<제곱근의 나눗셈 증명>

나눗셈도 곱셈과 비슷한 방법으로 증명하면 됩니다

자세한 과정은 곱셈할 때 증명했으니 나눗셈은 간단하게 수식으로 쓰고 넘어가겠습니다

 

$$ a,b > 0 $$

$$ \frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}} = \sqrt{\frac {a}{b}} $$

위의 식이 성립하는지 증명

 

$$ (\frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}})^2 = \frac {a}{b}$$

그렇다면 \(\frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}}\)은 \(\frac {a}{b}\)의 양의 제곱근이 되고

\(\frac {a}{b}\)의 양의 제곱근은 \(\sqrt{\frac {a}{b}}\) 같이 표현할 수 있으므로

$$ \frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}} = \sqrt{\frac {a}{b}} $$

가 성립하게 됩니다

 

어렵고 헷갈릴 수 있습니다

하지만 우리가 계산할 때 마다 증명해야 되는 것은 아니기에

한번씩만 증명해보고 왜 이렇게 되는구나 정도만 확인하고 넘어가시면 될 것 같습니다!

 

오류가 있다면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다