[하루 5분 중등수학] 제곱근의 곱셈과 나눗셈 증명

<제곱근의 곱셈 증명>

이전 글에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해 공부했었습니다.

루트 안에 숫자를 곱하고 나눈 뒤 다시 루트를 씌웠습니다

하지만 그때 왜 그렇게 되는지에 대해서는 증명하지 않고 넘어갔었는데요,

이번 글에서 왜 그렇게 되는지 증명해 보겠습니다

 

$a,b>0$ 이면 $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$가 되는 것을 증명하면 됩니다

먼저 $\sqrt{a}\times \sqrt{b}$를 제곱시켜 보겠습니다

$$(\sqrt{a}\times \sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}\times \sqrt{b})\times (\sqrt{a}\times \sqrt{b})$$

이때 실수의 곱셈에서도 교환법칙, 결합법칙이 성립하기에

$$(\sqrt{a}\times \sqrt{b})\times (\sqrt{a}\times \sqrt{b})=(\sqrt{a}\times \sqrt{a})\times (\sqrt{b}\times \sqrt{b})$$

$$(\sqrt{a}\times \sqrt{a})\times (\sqrt{b}\times \sqrt{b})=(\sqrt{a}{)}^2\times (\sqrt{b}{)}^2=a\times b$$

정리해보자면

$$(\sqrt{a}\times \sqrt{b}{)}^2=a\times b$$

 

어디서 많이 본 모양이지 않나요?

맞아요 첫 시간에 제곱근의 의미를 공부할 때 비슷한 형태를 봤었죠

$x^2=a$일 때 x를 a의 제곱근이라고 하기로 했습니다(x가 양수이면 양의 제곱근)

자 그럼 다시 원래 증명 과정으로 돌아와서

$$(\sqrt{a}\times \sqrt{b}{)}^2=a\times b$$

이면 $\sqrt{a}\times \sqrt{b}$은 $a\times b$의 양의 제곱근이 됩니다

이때 우리가 제곱근은 어떻게 표시하기로 했나요?

a의 양의 제곱근은 $\sqrt{a}$ 이렇게 나타내기로 했습니다

 

그렇다면 다 왔습니다!

$a\times b$의 양의 제곱근은 $\sqrt{ab}$라고 나타낼 수 있겠네요

그런데 $\sqrt{a}\times \sqrt{b}$은 $a\times b$의 양의 제곱근이므로

$$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$$

가 성립하게 되는 것이죠!

 

<제곱근의 나눗셈 증명>

나눗셈도 곱셈과 비슷한 방법으로 증명하면 됩니다

자세한 과정은 곱셈할 때 증명했으니 나눗셈은 간단하게 수식으로 쓰고 넘어가겠습니다

 

$$a,b>0$$

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$

위의 식이 성립하는지 증명

 

$$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}{)}^2=\frac{a}{b}$$

그렇다면 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$은 $\frac{a}{b}$의 양의 제곱근이 되고

$\frac{a}{b}$의 양의 제곱근은 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ 같이 표현할 수 있으므로

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$

가 성립하게 됩니다

 

어렵고 헷갈릴 수 있습니다

하지만 우리가 계산할 때 마다 증명해야 되는 것은 아니기에

한번씩만 증명해보고 왜 이렇게 되는구나 정도만 확인하고 넘어가시면 될 것 같습니다!

 

오류가 있다면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다