[하루 5분 중등수학] 무리수 상등

<무리수 상등>

'무리수 상등'이라는 말을 들어보신 적이 있나요?

학교에서도 잘 가르쳐 주진 않지만 어쩌면 너무 당연한 개념이라고 생각할 지도 모릅니다

다음 질문에 답을 해봅시다

(p, q는 유리수이다)

$$ p + q\sqrt{2} = 5 + 3\sqrt{2} $$

$$ p, \; q = \; ?$$

 

너무 당연하지 않나요?

답은 \(p = 5, \; q = 3\) 입니다

이것이 '무리수 상등'입니다!

 

일단 무리수 상등이란 \(p, q\)는 유리수, \(\sqrt{m}\)는 무리수라고 할 때

$$ p + q\sqrt{m} = 0$$

이면

$$ p = 0, \; q=0 $$

 

뭔가 당연해 보이지만 우리는 이걸 수학적으로 증명해야 합니다

귀류법을 이용해 보겠습니다

 

귀류법이란? 어떤 명제를 증명할 때 주어진 명제의 결론을 부정하여 그 결과가 가정에 모순이 됨을 보여

주어진 명제가 참임을 보이는 간접증명방법이다

귀류법을 이용해 \(\sqrt{2}\)가 무리수임을 보이는 증명이 궁금하다면? https://studywithdavid.tistory.com/6

 

만약 \(q \ne 0 \) 이라고 해봅시다(그 외 조건은 모두 위와 동일합니다)

$$ p + q\sqrt{m} = 0$$

$$ q\sqrt{m} = -p$$

$$\sqrt{m} = -(\frac{p}{q})$$

모순이 생겼습니다!

분명 가정에선 \(\sqrt{m}\)이 무리수라고 했는데

위의 식을 보시면 좌변은 무리수, 우변은 유리수가 됩니다

(무리수) \(\ne\) (유리수)

결국 모순이 발생했기에 \(q = 0\)이 될 수 밖에 없겠네요

\(q = 0\)이면 자연스럽게 \(p = 0\)이네요

 

그래서 이와 같은 방법으로 아래 내용이 성립합니다

\(a, b, c, d\)는 유리수, \(\sqrt{m}\)는 무리수라고 할 때

 

\(a + b\sqrt{m} = 0\) 이면 \(a = 0, \; b=0\)

\(a + b\sqrt{m} = c + d\sqrt{m}\) 이면 \(a = c, \; b=d\)

 

이것을 응용하여 문제 하나만 풀어보고 마무리하겠습니다

\(x, y\)는 유리수일 때

$$(\sqrt{2} + 1)x + (5 + 2\sqrt{2})y = 5\sqrt{2} + 11$$

$$ x, \; y = \; ? $$

 

어려운가요? 함께 풀어보겠습니다

위 식을 전개한 뒤 유리수끼리 무리수끼리 묶어준다면

$$ (x + 2y)\sqrt{2} + x + 5y = 5\sqrt{2} + 11$$

여기서 무리수 상등을 이용한다면

$$ x + 2y = 5 $$

$$ x + 5y = 11 $$

연립방정식을 풀어준다면

$$ x = 1, \; y = 2 $$

 

오늘 글은 여기서 마치겠습니다

오류가 있었다면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다