[하루 5분 중등수학] 무리수 상등

<무리수 상등>

'무리수 상등'이라는 말을 들어보신 적이 있나요?

학교에서도 잘 가르쳐 주진 않지만 어쩌면 너무 당연한 개념이라고 생각할 지도 모릅니다

다음 질문에 답을 해봅시다

(p, q는 유리수이다)

$$p+q\sqrt{2}=5+3\sqrt{2}$$

$$p,q=?$$

 

너무 당연하지 않나요?

답은 $p=5,q=3$ 입니다

이것이 '무리수 상등'입니다!

 

일단 무리수 상등이란 $p,q$는 유리수, $\sqrt{m}$는 무리수라고 할 때

$$p+q\sqrt{m}=0$$

이면

$$p=0,q=0$$

 

뭔가 당연해 보이지만 우리는 이걸 수학적으로 증명해야 합니다

귀류법을 이용해 보겠습니다

 

귀류법이란? 어떤 명제를 증명할 때 주어진 명제의 결론을 부정하여 그 결과가 가정에 모순이 됨을 보여

주어진 명제가 참임을 보이는 간접증명방법이다

귀류법을 이용해 $\sqrt{2}$가 무리수임을 보이는 증명이 궁금하다면? https://studywithdavid.tistory.com/6

 

만약 $q\ne 0$ 이라고 해봅시다(그 외 조건은 모두 위와 동일합니다)

$$p+q\sqrt{m}=0$$

$$q\sqrt{m}=-p$$

$$\sqrt{m}=-(\frac{p}{q})$$

모순이 생겼습니다!

분명 가정에선 $\sqrt{m}$이 무리수라고 했는데

위의 식을 보시면 좌변은 무리수, 우변은 유리수가 됩니다

(무리수) $\ne$ (유리수)

결국 모순이 발생했기에 $q=0$이 될 수 밖에 없겠네요

$q=0$이면 자연스럽게 $p=0$이네요

 

그래서 이와 같은 방법으로 아래 내용이 성립합니다

$a,b,c,d$는 유리수, $\sqrt{m}$는 무리수라고 할 때

 

$a+b\sqrt{m}=0$ 이면 $a=0,b=0$

$a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{m}$ 이면 $a=c,b=d$

 

이것을 응용하여 문제 하나만 풀어보고 마무리하겠습니다

$x,y$는 유리수일 때

$$(\sqrt{2}+1)x+(5+2\sqrt{2})y=5\sqrt{2}+11$$

$$x,y=?$$

 

어려운가요? 함께 풀어보겠습니다

위 식을 전개한 뒤 유리수끼리 무리수끼리 묶어준다면

$$(x+2y)\sqrt{2}+x+5y=5\sqrt{2}+11$$

여기서 무리수 상등을 이용한다면

$$x+2y=5$$

$$x+5y=11$$

연립방정식을 풀어준다면

$$x=1,y=2$$

 

오늘 글은 여기서 마치겠습니다

오류가 있었다면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다