[하루 5분 중등수학] 제곱근의 곱셈과 나눗셈, 유리화

https://studywithdavid.tistory.com/2

[중3 수학] 제곱근의 의미

(이전 글을 보지 않으신 분들은 보고 오시는 걸 추천드립니다!)

 

이번 시간에는 제곱근의 성질에 대해 알아보겠습니다.

저번 시간에 \(\sqrt{a}\)이 무엇인지에 대해 알아보았습니다

가장 기본적인 제곱근의 의미로 이런 식을 배웠죠

$$(a > 0)$$

$$(\pm\sqrt{a})^2 = a $$ 

(여기서 \(\pm\)은 플러스와 마이너스를 합쳐서 한번에 쓰는 기호입니다. 흔히 플러스마이너스 a.k.a 플마 라고 부릅니다)

예를 들어 \((\sqrt{3})^2\ = 3\) 이죠

한편 \(3^2\ = 9\) 이고 9의 양의 제곱근은 3이므로 정리해보면 다음이 성립한다는 것을 알 수 있습니다

$$\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$$

이것을 이용하여 일반화를 시켜보면

$$(a > 0)$$

$$1. (\pm\sqrt{a})^2 = a \qquad  2. \sqrt{(\pm a^2)} = a$$ 

처음에는 조금 헷갈릴 수 있지만 연습하시다보면 익숙해질겁니다

그런데 여기서 짚고 넘어가야 할 점이 있습니다

제가 2가지의 식과 조건을 적어드렸는데 특히 이 조건은 잘 기억해두셔야 합니다

$$a > 0$$

크게 의미없어보이는 조건인 것 처럼 보이지만 사실 매우 중요합니다

중등수학에서는 루트 안에 음수가 들어가지 못합니다.

(\(\sqrt{-3}\)이란 수는 제곱해서 -3이 되는 수인데, 제곱해서 음수가 나올 수 있을까요?)

 

 

하지만 그렇다고 루트 안에 음수가 못 들어가진.......않습니다!

고등수학으로 넘어가야 루트 안에 음수가 들어가는 형태를 배우게 됩니다

(궁금하신 분들은 허수에 관한 글을 읽어보시면 됩니다)

그러니 당장 지금은(여러분들이 중학생이라면) 이런 조건에서만 성립하구나 생각하고 넘어가시면 됩니다

(더 내용은 고등수학 파트에서 추후 올려보도록 하겠습니다!)

 

사실 제곱근의 가장 기본적인 성질은 이 2개가 다입니다!

그렇다면 이제는 제곱근을 이용한 곱셈과 나눗셈을 하는 방법을 알아봅시다

$$\sqrt{2} \times \sqrt{3} $$

$$\frac {\sqrt{6}} {\sqrt{3}}$$  

위 문제의 답은 무엇일까요?

답은 첫번째 \(\sqrt{6}\)이고 두번째 \(\sqrt{2}\)입니다

정말로 이렇게 하는 것이 맞습니다.(생각보다 너무 간단하지 않나요?)

그냥 루트 안에 있는 숫자끼리 곱하고 나눈 뒤 루트를 씌워주면 됩니다!

그래서 이를 일반화 시켜보면 이렇게 됩니다

$$(a > 0, \;  b > 0)$$

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

$$ \frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}} = \sqrt{\frac {a}{b}} $$ 

왜 이렇게 되는 걸까요?

자세한 증명과정은 따로 글을 써서 올리겠습니다

https://studywithdavid.tistory.com/5

[중3 수학+] 제곱근의 곱셈과 나눗셈(2)

(궁금하신 분들은 위의 링크를 클릭해주세요)

 

 

이 성질을 이용하면 \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)이 되는 것을 증명할 수 있습니다!

이것은 간단하니 바로 증명해보겠습니다

\(12 = 2^2 \times 3\)입니다(소인수분해 기억나시죠?)

$$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

그러면 루트 안의 숫자를 소인수분해 했을 때 제곱이 있는 숫자는 루트 밖으로 꺼내어

나타낼 수 있다는 사실을 알 수 있습니다

일반적으로 다음이 성립합니다

$$(a > 0, \;  b > 0)$$

$$\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$$

 

마지막으로 유리화에 관한 설명을 하겠습니다

수학에서 분모에 무리수(여기서는 제곱근을 의미)가 들어가는 형태를 싫어합니다

(무리수가 무엇인지는 다음에 다시 자세하게 다루겠습니다)

그래서 유리화라는 작업을 하게 되는데 이것도 어렵지 않습니다

$$(a > 0, \;  b > 0)$$

$$\frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}} = \frac {\sqrt{a} \times \sqrt{b}} {\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac {\sqrt{ab}} {b}$$  

문자로 쓰면 어려우니 예시를 들어보겠습니다

$$\frac {\sqrt{2}} {\sqrt{3}} = \frac {\sqrt{2} \times \sqrt{3}} {\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac {\sqrt{6}} {3}$$

 

이번 글에서는 제곱근의 성질과 곱셈과 나눗셈 그리고 유리화까지 많은 내용을 다루었습니다

이 내용들은 앞으로의 중등, 고등수학까지도 계속 연계되는 내용이므로 꼭 알고 계셔야합니다!

다음 시간에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈 그리고 무리수와 실수의 개념에 대해 정리해보겠습니다

오류가 있다면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다