메넬라우스 정리와 체바의 정리

이번 글에서는 교과서에서는 나오지 않지만 중등 내신 심화 문제 또는 경시 문제에 자주 활용되는

두 가지 정리인 메넬라우스 정리와 체바의 정리를 소개해보겠습니다

 

메넬라우스 정리

메넬라우스 정리는 기본적으로 위와 같은 형태에서 성립하는 정리입니다

$$ \frac{CD}{DB} \times \frac{BE}{EA} \times \frac{AF}{FC} = 1$$

 

이제 위의 식이 성립한다는 것을 증명해봅시다!

점 A, B, C에서 각각 직선 DE 위에 수선을 내려봅시다

이제 서로 닮음인 세 쌍의 삼각형을 찾고 비례식을 세워보면...

<첫번째 닮음 삼각형>

\begin{equation}
\triangle DIC \backsim \triangle DJB
\end{equation}

\begin{equation}
 \frac{IC}{BJ} = \frac{CD}{DB} \cdots (1)
\end{equation}

<두번째 닮음 삼각형>

\begin{equation}
\triangle BJE \backsim \triangle AHE
\end{equation}

\begin{equation}
 \frac{BJ}{AH} = \frac{BE}{EA} \cdots (2)
\end{equation}

<세번째 닮음 삼각형>

\begin{equation}
\triangle AHF \backsim \triangle CIF
\end{equation}

\begin{equation}
 \frac{AH}{IC} = \frac{AF}{FC} \cdots (3)
\end{equation}

(1), (2), (3)의 식을 얻어 낼 수 있습니다!

 

  그럼 이제 (1), (2), (3)의 식의 각변을 모두 곱해보면?

\begin{equation}
 \frac{IC}{BJ} \times \frac{BJ}{AH} \times \frac{AH}{IC} = \frac{CD}{DB} \times \frac{BE}{EA} \times\frac{AF}{FC}
\end{equation}

좌변이 모두 약분되어 1이 되고 결국

$$ \frac{CD}{DB} \times \frac{BE}{EA} \times \frac{AF}{FC} = 1$$

위 식이 성립하는 것입니다!

 

체바의 정리

이어서 체바의 정리도 소개해드리겠습니다

체베의 정리는 아래와 같이 삼각형 ABC의 내부의 한 점 O를 지나는 세 직선 AO, BO, CO가
각각의 변과 만나는 점을 D, E, F라고 할 때

$$ \frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1 $$

역시나 증명해보도록 하죠

메넬라우스 정리는 길이비를 이용했지만 체바의 정리는 넓이비를 이용합니다!

\begin{equation}
\frac{\triangle ABO}{\triangle ACO} = \frac{BD}{DC} \cdots (1)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\triangle BCO}{\triangle ABO} = \frac{CE}{EA} \cdots (2)
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\triangle ACO}{\triangle BCO} = \frac{AF}{FB} \cdots (3)
\end{equation}

 

위 세 개의 식은 어떻게 유도된 걸까요?

방법은 총 2가지 입니다

첫번째 방법(가비의 리를 이용)

\begin{equation}
\frac{BD}{DC} = \frac{\triangle ABD}{\triangle ACD} = \frac{\triangle BDO}{\triangle CDO} = \frac{\triangle ABD - \triangle BDO}{\triangle ACD - \triangle CDO} = \frac{\triangle ABO}{\triangle ACO}
\end{equation}

 

두번째 방법(기하적인 방법-닮음)

 

 

그럼 다시 돌아와서 위에서 구했던 세 개의 식을 이번에도 변변 곱해보면

\begin{equation}
\frac{\triangle ABO}{\triangle ACO} \times \frac{\triangle BCO}{\triangle ABO} \times \frac{\triangle ACO}{\triangle BCO} = \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} \times \frac{AF}{FB}
\end{equation}

역시나 이번에도 좌변이 모두 약분되어 1이 됩니다

$$ \frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1 $$

위 식이 성립한다는 것이 증명되었습니다