메넬라우스 정리와 체바의 정리

이번 글에서는 교과서에서는 나오지 않지만 중등 내신 심화 문제 또는 경시 문제에 자주 활용되는

두 가지 정리인 메넬라우스 정리와 체바의 정리를 소개해보겠습니다

 

메넬라우스 정리

메넬라우스 정리는 기본적으로 위와 같은 형태에서 성립하는 정리입니다

$$\frac{CD}{DB}\times \frac{BE}{EA}\times \frac{AF}{FC}=1$$

 

이제 위의 식이 성립한다는 것을 증명해봅시다!

점 A, B, C에서 각각 직선 DE 위에 수선을 내려봅시다

이제 서로 닮음인 세 쌍의 삼각형을 찾고 비례식을 세워보면...

<첫번째 닮음 삼각형>

$$\mathrm{△}DIC\backsim \mathrm{△}DJB$$

$$\frac{IC}{BJ}=\frac{CD}{DB}\cdots (1)$$

<두번째 닮음 삼각형>

$$\mathrm{△}BJE\backsim \mathrm{△}AHE$$

$$\frac{BJ}{AH}=\frac{BE}{EA}\cdots (2)$$

<세번째 닮음 삼각형>

$$\mathrm{△}AHF\backsim \mathrm{△}CIF$$

$$\frac{AH}{IC}=\frac{AF}{FC}\cdots (3)$$

(1), (2), (3)의 식을 얻어 낼 수 있습니다!

 

  그럼 이제 (1), (2), (3)의 식의 각변을 모두 곱해보면?

$$\frac{IC}{BJ}\times \frac{BJ}{AH}\times \frac{AH}{IC}=\frac{CD}{DB}\times \frac{BE}{EA}\times \frac{AF}{FC}$$

좌변이 모두 약분되어 1이 되고 결국

$$\frac{CD}{DB}\times \frac{BE}{EA}\times \frac{AF}{FC}=1$$

위 식이 성립하는 것입니다!

 

체바의 정리

이어서 체바의 정리도 소개해드리겠습니다

체베의 정리는 아래와 같이 삼각형 ABC의 내부의 한 점 O를 지나는 세 직선 AO, BO, CO가
각각의 변과 만나는 점을 D, E, F라고 할 때

$$\frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1$$

역시나 증명해보도록 하죠

메넬라우스 정리는 길이비를 이용했지만 체바의 정리는 넓이비를 이용합니다!

$$\frac{\mathrm{△}ABO}{\mathrm{△}ACO}=\frac{BD}{DC}\cdots (1)$$

$$\frac{\mathrm{△}BCO}{\mathrm{△}ABO}=\frac{CE}{EA}\cdots (2)$$

$$\frac{\mathrm{△}ACO}{\mathrm{△}BCO}=\frac{AF}{FB}\cdots (3)$$

 

위 세 개의 식은 어떻게 유도된 걸까요?

방법은 총 2가지 입니다

첫번째 방법(가비의 리를 이용)

$$\frac{BD}{DC}=\frac{\mathrm{△}ABD}{\mathrm{△}ACD}=\frac{\mathrm{△}BDO}{\mathrm{△}CDO}=\frac{\mathrm{△}ABD-\mathrm{△}BDO}{\mathrm{△}ACD-\mathrm{△}CDO}=\frac{\mathrm{△}ABO}{\mathrm{△}ACO}$$

 

두번째 방법(기하적인 방법-닮음)

 

 

그럼 다시 돌아와서 위에서 구했던 세 개의 식을 이번에도 변변 곱해보면

$$\frac{\mathrm{△}ABO}{\mathrm{△}ACO}\times \frac{\mathrm{△}BCO}{\mathrm{△}ABO}\times \frac{\mathrm{△}ACO}{\mathrm{△}BCO}=\frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}\times \frac{AF}{FB}$$

역시나 이번에도 좌변이 모두 약분되어 1이 됩니다

$$\frac{AF}{FB}\times \frac{BD}{DC}\times \frac{CE}{EA}=1$$

위 식이 성립한다는 것이 증명되었습니다