[하루 5분 수학이야기] 로또에 당첨될 확률은?

누구나 한번쯤은 상상해 보았을 것입니다

로또에 당첨되어 일확천금을 얻는 그런 상상이요!

그렇다면 로또에 당첨될 확률은 어느정도 될까요?

물론 다른 여러 블로그에도 확률을 알려주는 곳은 많지만

저희는 수학 블로그이기에 직접 계산해보려 합니다!

 

일단 계산하기에 앞서 조합을 알아야 합니다

조합이란 쉽게 말해서 서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑는 경우의 수 입니다(순서는 고려하지 않습니다)

(사람 n명 중에서 r명을 뽑을 수도 있고 숫자 n개 중에서 r개를 뽑을 수도 있고 응용은 다양하게 가능합니다!)

기호로 표현하자면

$$ _{n}C_{r} $$

이렇게 되는 것이죠

이것을 계산하는 방법은

$$ _{n}C_{r} = \frac{n!}{r! \times (n-r)!} $$

여기서 n!(n 팩토리얼)은 n이하의 수를 모두 곱하는 것을 의미합니다

예를 들면 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 이렇게 말이죠

 

어쩌다 이런 공식이 나왔는지, 어떻게 계산하는 방법을 알고 싶으신 분들은

제 블로그의 [하루 5분 고등수학] 파트에서 정리해 놓았으니 궁금하신 분들은 많이 읽어주세요!

 

자 다시 원래 내용으로 돌아와서 로또 1등에 당첨되려면 숫자 45개 중에 6개를 순서 상관없이 맞추어야 합니다

위에서 조합 공식에 대입을 해보면

숫자 45개 중에서 숫자 6개를 뽑는 모든 경우의 수는?

$$ _{45}C_{6} = \frac{45 \times 44 \times 43 \times ... \times 40}{6 \times 5 \times 4 \times... \times 1}$$

요렇게 됩니다

실제로 계산을 해보면 8,145,060 이런 값이 나옵니다

(우리가 로또를 샀을 때 나올 수 있는 모든 숫자의 조합이 저렇게나 많습니다)

그 중에 1등에 되려면 6개 번호를 다 맞아야 하니 당첨되는 경우의 수는 1입니다!

(번호 6개 중 하나라도 틀리면 1등이 되지 못하기 때문입니다)

그러면 확률을 구해보면

$$\frac {1등이 되는 경우의 수}{모든 경우의 수} = \frac {1}{8,145,060} $$

이렇게 됩니다

분수로 나타내서 어느정도인지 감이 안오시는 분들을 위해

소수로 바꾸보면

0.000000122 = 0.0000122 %

(대략 이정도...?)

아무튼 엄청 희박합니다

 

그러면 이 방법대로 2등, 3등, 4등, 5등도 구할 수 있겠죠?

실제로

2등 : 1 / 1,357,510

3등: 1 / 35,724

4등: 1 / 733

5등: 1 / 45

이런 식으로 확률이 나온다고 합니다

(이렇게 보니까 5등은 1등에 비하면 확률이 엄청 높아보이네요...)

 

아무튼 오늘은 짧게나마 로또 당첨 확률을 구해보았습니다

여러분들이 고등학교에서 배우시는 경우의 수를 이런 곳에 응용할 수 있네요!

오류가 있다면 댓글로 알려주세요! 감사합니다