[하루 5분 수학이야기] 100의 99제곱 vs 99의 100제곱 누가 더 클까?

오늘은 흥미로운 주제를 가져와봤습니다
\(100^{99}\) vs \(99^{100}\) 누가 더 클까요?
크게 2가지 방법으로 계산해보겠습니다
 
먼저 첫번째 방법은 상용로그를 활용하는 방법입니다
두 수에 상용로그를 씌워주면
$$ \log 100^{99} = 99 \times \log 100$$
$$ \log 99^{100} =  100 \times \log99$$
이때 \(\log 100 = 2\)이므로
$$ 99\log100 = 99 \times 2 = 198 $$
결국 우리가 비교해야 되는 것은
\(198\)과 \(100 \times \log99\) 이 두 수입니다!
이때 실제로 \(\log99 = 1.9956351946...\)입니다
$$ 100 \times \log 99 = 100 \times 1.995635... \doteqdot 199.56$$
자 그러면 이제 비교 할 수 있겠네요
$$ 198 < 199.56 $$
$$ 100^{99} < 99^{100} $$
이런 결론을 도출할 수 있습니다
 
두번째 방법은 \(\log 99\)값을 몰라도 계산할 수 있는 방법입니다
첫번째 방법과 같이 두 수에 상용로그를 취해줍니다
$$ 99\log100 $$
$$ 100\log99 $$
그리고 두 수를 \(99 \times 100\)으로 나눠줍니다
$$ \frac{\log 100}{100} $$
$$ \frac{\log 99}{99} $$
이제 이 두 수를 비교해 봅시다
\(\frac{\log 100}{100}\)가 의미하는 것은 \((0,0)\)과 \((100, \log100)\)의 기울기이고
\(\frac{\log 99}{99}\)가 의미하는 것은 \((0,0)\)과 \((99, \log99)\)의 기울기입니다!
그림으로 보여드리겠습니다

(실제 그래프와는 차이가 있습니다, 결과를 한눈에 잘 보일 수 있게 약간 과장해서 그렸습니다)
보시게 되면 (0,0)과 (99, log 99) 사이의 기울기가 조금 더 큰 것을 알 수 있습니다
결국
$$ \frac{\log 100}{100} < \frac{\log 99}{99} $$
$$ 100^{99} < 99^{100} $$
log 99의 값을 몰라도 대소비교를 할 수 있었습니다
 
이 방법은 이분의 영상을 참고하였습니다
https://www.youtube.com/shorts/3UVyUYlRjoY
(저의 방법과는 약간의 차이가 있으니 이분 영상도 보시는 걸 추천드립니다!)
 
오류가 있으면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다

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