[하루 5분 수학이야기] 이진법이란 무엇일까?

컴퓨터가 이진법을 사용한다는 사실은 익히 알려져 있습니다

그렇다면 이진법은 무엇일까요?

0과 1을 이용하여 수를 표현한다는 정도는 알고 계신 분들이 꽤 많을거라 생각합니다

그래서 이번 글과 다음 글을 통해 진법에 대한 개념을 소개해 보려고 합니다

일단 첫번째 글에서는 크게 이진법이 무엇인지, 그리고 이진법을 십진법으로 어떻게 바꾸는지에 대해 알아봅시다

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 n진법이라고 하면 숫자 n개를 이용하여 수를 표시하는 방법입니다

예를 들어

우리는 10진법을 사용하고 있습니다.

숫자 10개로 모든 수를 표현하는 방법이죠

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 이렇게 총 10개입니다!)

 

2진법이라면 0,1 숫자 단 2개 만으로 모든 수를 표현하는 방법입니다

3진법이라면 0,1,2 숫자 3개로 모든 수를 표현하는 방법이고요

이런 방법으로 4진법, 5진법, 6진법 ... 모두 마찬가지 방법입니다

 

일단 우리가 가장 쉽게 접하는 10진법으로 설명해 보겠습니다

초등학생 때 우리는 123을 이렇게 써도 된다고 배웠습니다

$$ 123 = 1 \times 100 + 2 \times 10 + 3 $$

그리고 중학생이 되어 거듭제곱근을 배우고 위 식을 이렇게도 쓸 수 있습니다

$$ 123 = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 $$

(참고: 어떤 수의 0 제곱은 항상 1입니다)

 

그럼 다음 수들을 위의 수식처럼 표현해봅시다

$$ 234 = \; ? $$

$$ 5728 = \; ? $$

$$ 98765 = \; ? $$

 

 

 

답은

$$ 234 = 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4 \times 10^0 $$

$$ 5728 = 5 \times 10^3 + 7 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 8 \times 10^0 $$

$$ 98765 = 9 \times 10^4 + 8 \times 10^3 + 7 \times 10^2  + 6 \times 10^1 + 5 \times 10^0 $$

이렇게 됩니다

 

이제 살짝 규칙이 보이지 않나요?

일의 자리가 십의 자리가 되려면 10을 곱해줘야 합니다. 즉 10배라는 것이죠

십의 자리가 백의 자리가 되려면 또 10배를 해줘야 합니다

다시 백의 자리가 천의 자리가 되려면 10배를 해줘야 합니다

결국 우리는 이런 결론을 이끌어 낼 수 있습니다

10진법에서는 자리가 하나씩 올라갈 때 마다 10배씩 해줘야 합니다

이를 통해 우리는 n진법에서 수를 표시하는 방법을 알 수 있습니다

n진법은 자리가 하나씩 올라갈 때 마다 값이 n배씩 커지게 나타내는 수의 표시방법이라고 말할 수 있습니다

 

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이제 이진법을 살펴봅시다!

위의 n진법의 의미에 따라 이진법은 숫자 0과 1 단 두개만을 사용하고

자리가 하나씩 올라갈 때 마다 값이 2배씩 커지게 됩니다

이게 무슨 소리일까요?

우리가 수학을 처음 배웠을 때 숫자를 세는 법부터 배웠었죠

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 이렇게 말이예요

그럼 한번 이진법으로 숫자를 세볼까요

십진법으로 0을 이진법에서도 0으로 씁니다

십진법으로 1을 이진법에서도 1로 씁니다

여기까지는 별차이가 없는 듯 보이지만 이제부터가 중요합니다

십진법으로 2를 이진법에서도 2라고 쓸까요?

잘 생각해보면 아까 이진법에서는 숫자 0과 1만 쓴다고 했습니다

숫자 2를 사용하지 못한다면... 이렇게 생각해봅시다!

십진법에서는 10번째, 100번째, 1000번째... 마다 자릿수가 바뀌었습니다

(예: 9 > 10, 99 > 100, 999 > 1000)

그렇다면 이진법에서는 몇번째 마다 자릿수가 바뀔까요?

맞아요! 2번째, 4번째, 8번째... 즉 \(2^n\) 번째 마다 자릿수가 바뀝니다

그래서 십진법으로 2는 이진법에서는 $$ 10_{(2)} $$ 이렇게 나타냅니다

마찬가지로 십진법으로 3은 이진법에서는 $$ 11_{(2)} $$ 이렇게 나타내고요

(참고: 오른쪽 아래 (2)는 십진법과 구분하기 위해 이진법이라고 알려주는 표시입니다)

감을 못잡으신 분들을 위해 제가 표로 정리해보겠습니다

십진법	이진법
0	$$ 0_{(2)} $$
1	$$ 1_{(2)} $$
2	$$ 10_{(2)} $$
3	$$ 11_{(2)} $$
4	$$ 100_{(2)} $$
5	$$ 101_{(2)} $$
6	$$ 110_{(2)} $$
7	$$ 111_{(2)} $$
8	$$ 1000_{(2)} $$

자 그럼 어느정도 이진법에서 수를 표현하는 방법은 이해하셨을 겁니다

그럼 만약 제가 10101 이렇게 이진법 수를 썼을 때 이것이 십진법 수로 얼마를 의미하는지 알 수 있는 방법은 없을까요?

이제부터 이진법 수를 십진법으로 바꿔볼 겁니다!

 

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잠깐 복습해보면 234라는 수는 이렇게도 쓸 수 있었습니다

$$ 234 = 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4 \times 10^0 $$

100의 자리가 2, 10의 자리가 3, 1의 자리가 4인 것이죠

이진법에서는 10배 단위가 아닌 2배 단위로 나타내기로 했기에

십진법에서 100의 자리가 이진법에서는 4의 자리, 10의 자리가 2의 자리,  1의 자리는 똑같이 1의 자리.....

이런 식으로 나타낼 수 있겠네요

그렇다면 \(101_{(2)}\) 이 수를 우리가 방금 전 십진법의 수를 분해한 것처럼 나타내 볼까요?

4의 자리가 1이고 2의 자리가 0이고 1의 자리가 1 이기 때문에

$$ 101_{(2)} = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 5 $$

이렇게 쓸 수 있습니다

(십진법이니까 10의 거듭제곱을 곱한것이고 우린 이진법으로 나타냈으니 2의 거듭제곱을 곱한겁니다!)

즉 \(101_{(2)}\)는 십진법으로 나타내면 5가 되네요!

 

연습해볼까요?

$$ 1101_{(2)} = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 13 $$

$$ 11111_{(2)} = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 31 $$

이런 식으로 계산할 수 있습니다

그러면 십진법 수를 이진법 수로 바꾸는 방법은 없을까요?

당연히 있습니다! (다음 글에 계속)

 

이번 글에서는 간단하게 진법이 무엇인지, 이진법을 십진법으로 바꾸는 방법에 대해 알아보았습니다

Part 1에 이어서 Part 2에서는 십진법 수를 이진법으로 바꾸는 방법

그리고 n진법 수에 대해 좀 더 자세하게 알아보겠습니다

오류가 있다면 언제든지 알려주세요! 감사합니다