[하루 5분 수학이야기] 100의 99제곱 vs 99의 100제곱 누가 더 클까?

오늘은 흥미로운 주제를 가져와봤습니다
${100}^{99}$ vs ${99}^{100}$ 누가 더 클까요?
크게 2가지 방법으로 계산해보겠습니다
 
먼저 첫번째 방법은 상용로그를 활용하는 방법입니다
두 수에 상용로그를 씌워주면
$$\log {100}^{99}=99\times \log 100$$
$$\log {99}^{100}=100\times \log 99$$
이때 $\log 100=2$이므로
$$99\log 100=99\times 2=198$$
결국 우리가 비교해야 되는 것은
$198$과 $100\times \log 99$ 이 두 수입니다!
이때 실제로 $\log 99=1.9956351946...$입니다
$$100\times \log 99=100\times 1.995635...\doteqdot 199.56$$
자 그러면 이제 비교 할 수 있겠네요
$$198<199.56$$
$${100}^{99}<{99}^{100}$$
이런 결론을 도출할 수 있습니다
 
두번째 방법은 $\log 99$값을 몰라도 계산할 수 있는 방법입니다
첫번째 방법과 같이 두 수에 상용로그를 취해줍니다
$$99\log 100$$
$$100\log 99$$
그리고 두 수를 $99\times 100$으로 나눠줍니다
$$\frac{\log 100}{100}$$
$$\frac{\log 99}{99}$$
이제 이 두 수를 비교해 봅시다
$\frac{\log 100}{100}$가 의미하는 것은 $(0,0)$과 $(100,\log 100)$의 기울기이고
$\frac{\log 99}{99}$가 의미하는 것은 $(0,0)$과 $(99,\log 99)$의 기울기입니다!
그림으로 보여드리겠습니다

(실제 그래프와는 차이가 있습니다, 결과를 한눈에 잘 보일 수 있게 약간 과장해서 그렸습니다)
보시게 되면 (0,0)과 (99, log 99) 사이의 기울기가 조금 더 큰 것을 알 수 있습니다
결국
$$\frac{\log 100}{100}<\frac{\log 99}{99}$$
$${100}^{99}<{99}^{100}$$
log 99의 값을 몰라도 대소비교를 할 수 있었습니다
 
이 방법은 이분의 영상을 참고하였습니다
https://www.youtube.com/shorts/3UVyUYlRjoY
(저의 방법과는 약간의 차이가 있으니 이분 영상도 보시는 걸 추천드립니다!)
 
오류가 있으면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다

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