[하루 5분 고등수학] 루트 2가 무리수인 이유 증명

<루트 2는 왜 무리수인가>

이번시간에는 \(\sqrt{2}\)가 무리수인 이유를 증명해 보겠습니다
이런 증명과정은 고등학교 수(하)에서 나오지만
최대한 쉽게 설명해 보겠습니다!

'\(\sqrt{2}\)는 무리수이다'
먼저 위의 명제를 바로 증명하는 것은 어렵기 때문에 이런 방법을 써보려고 합니다
\(\sqrt{2}\)가 무리수이면 \(\sqrt{2}\)를 무리수가 아닌 수, 즉 유리수라고 가정했을 때 뭔가 모순이 생길 것입니다

예를 들어보겠습니다
(설명이 수학적으로 정확하지 않을 순 있습니다, 하지만 중학생을 위해 쉽게 설명한 것이므로 이해해 주시기 바랍니다)
A가 샐러드 또는 치킨 둘 중에 하나는 무조건 좋아한다고 해봅시다
그리고 또한 A는 채소를 싫어한다고 해보죠
이때 A는 치킨을 좋아한다를 증명하고 싶습니다
A가 치킨을 좋아하면 A가 샐러드를 좋아한다고 했을 때 뭔가 오류(모순)가 생길 것입니다

A가 샐러드를 좋아한다고 가정해봅시다 (1)
그런데 조건에서 A는 채소를 싫어한다고 했습니다 (2)
그렇다면 (1)의 문장과 (2)의 문장은 서로 모순이 생긴다는 것이 이해가 가시나요?
(채소를 싫어하는데 샐러드를 좋아할 순 없잖아요)
결국 (1)의 문장은 틀린 말이 되는 거죠
(1)이 틀렸다는 것은 A는 샐러드를 좋아하지 않는 것이고 A는 치킨을 좋아한다는 것이 증명되었습니다!
우리는 이런 증명방법을 귀류법이라고 합니다
(중학교 수준에선 용어를 몰라도 괜찮습니다)

-증명 시작-
어쨌든 다시 돌아와서 이제 증명을 시작해 보겠습니다
먼저 \(\sqrt{2}\)가 유리수라고 가정 해봅시다
이전 글에서 유리수에 정의에 대해 설명했었습니다

https://studywithdavid.tistory.com/11

[중3 수학] 무리수와 실수

(유리수/무리수의 정의가 알고 싶으신 분들은 위의 링크 클릭!)

 

모든 유리수는 \(\frac {a}{b}\) (a, b는 서로소인 정수, b는 0이 아니다)와 같은 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다.
그렇다면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다( \(\sqrt{2}\)가 유리수라고 가정했으니까요!)
$$\sqrt{2}= \frac {a}{b}$$
(a, b는 정수이고 서로소이다, b는 0이 아니다)
서로소(1 이외 공약수가 없음)라는 표현이 등장했네요(매우 중요하니 잘 기억해둡시다)
양변을 제곱해봅시다
$$ 2= \frac{a^2}{b^2} $$
b는 0이 아니므로 양변에 \(b^2\)을 곱해봅시다
$$ 2b^2 = a^2 $$
위의 등식이 성립하기 위해선 왼쪽에 2가 곱해져 있으니 오른쪽에도 2가 곱해져야 합니다
즉 a가 2의 배수라는 것이죠
그러니 \(a = 2p\)라고 해도 되겠습니다(단, p는 정수)
대입해봅시다!
$$ 2b^2 = (2p)^2 $$
$$ 2b^2 = 4p^2 $$
양변을 2로 나누면
$$ b^2 = 2p^2 $$
등식이 성립하려면 오른쪽에 2가 곱해져 있으니 왼쪽에도 2가 곱해져야 합니다
즉 b도 2의 배수네요
이상한 점이 있지 않나요?
아까 분명 a와 b는 서로소라고 했는데 둘다 2의 배수면 서로소가 아니잖아요!!!
가정에 모순이 생겼어요
그렇다는 것은 \(\sqrt{2}\)가 유리수가 아니라는 것이죠
실수에서 유리수가 아닌 수는 무리수입니다
그러니 \(\sqrt{2}\)는 유리수가 아닌 수, 즉 무리수가 되는 것입니다
-증명 끝-

어려웠나요?
최대한 중학생 분들도 이해할 수 있게 쉽게 설명한다고 하긴 했는데...
그렇다고 이거 이해 안된다고 낙담하진 마세요!!
(중학생이라면 이해 안되는 것이 당연합니다)
어처피 고등학교 가면 또 배울 기회가 있을 겁니다
이런 식으로 증명할 수 있다 라는 것만 알고 한 번 보고 넘어가시면 될 것 같습니다
오류가 있다면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다