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하루 5분 고등수학

[하루 5분 고등수학] 루트 2가 무리수인 이유 증명

by Daviddongyu 2023. 2. 13.
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<루트 2는 왜 무리수인가>

이번시간에는 2가 무리수인 이유를 증명해 보겠습니다
이런 증명과정은 고등학교 수(하)에서 나오지만
최대한 쉽게 설명해 보겠습니다!

'2는 무리수이다'
먼저 위의 명제를 바로 증명하는 것은 어렵기 때문에 이런 방법을 써보려고 합니다
2가 무리수이면 2를 무리수가 아닌 수, 즉 유리수라고 가정했을 때 뭔가 모순이 생길 것입니다

예를 들어보겠습니다
(설명이 수학적으로 정확하지 않을 순 있습니다, 하지만 중학생을 위해 쉽게 설명한 것이므로 이해해 주시기 바랍니다)
A가 샐러드 또는 치킨 둘 중에 하나는 무조건 좋아한다고 해봅시다
그리고 또한 A는 채소를 싫어한다고 해보죠
이때 A는 치킨을 좋아한다를 증명하고 싶습니다
A가 치킨을 좋아하면 A가 샐러드를 좋아한다고 했을 때 뭔가 오류(모순)가 생길 것입니다

A가 샐러드를 좋아한다고 가정해봅시다 (1)
그런데 조건에서 A는 채소를 싫어한다고 했습니다 (2)
그렇다면 (1)의 문장과 (2)의 문장은 서로 모순이 생긴다는 것이 이해가 가시나요?
(채소를 싫어하는데 샐러드를 좋아할 순 없잖아요)
결국 (1)의 문장은 틀린 말이 되는 거죠
(1)이 틀렸다는 것은 A는 샐러드를 좋아하지 않는 것이고 A는 치킨을 좋아한다는 것이 증명되었습니다!
우리는 이런 증명방법을 귀류법이라고 합니다
(중학교 수준에선 용어를 몰라도 괜찮습니다)

-증명 시작-
어쨌든 다시 돌아와서 이제 증명을 시작해 보겠습니다
먼저 2가 유리수라고 가정 해봅시다
이전 글에서 유리수에 정의에 대해 설명했었습니다

https://studywithdavid.tistory.com/11

 

[중3 수학] 무리수와 실수

이제 새로운 개념으로 넘어가 보겠습니다 무리수와 실수입니다 유리수는 중1 때 배워서 이미 알고 있고 무리수는 또 뭘까요? 이에 앞서 먼저 정확한 정의 먼저 확인해보겠습니다 유리수: 분모가

studywithdavid.tistory.com

(유리수/무리수의 정의가 알고 싶으신 분들은 위의 링크 클릭!)

 

모든 유리수는 ab (a, b는 서로소인 정수, b는 0이 아니다)와 같은 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다.
그렇다면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다( 2가 유리수라고 가정했으니까요!)
2=ab
(a, b는 정수이고 서로소이다, b는 0이 아니다)
서로소(1 이외 공약수가 없음)라는 표현이 등장했네요(매우 중요하니 잘 기억해둡시다)
양변을 제곱해봅시다
2=a2b2
b는 0이 아니므로 양변에 b2을 곱해봅시다
2b2=a2
위의 등식이 성립하기 위해선 왼쪽에 2가 곱해져 있으니 오른쪽에도 2가 곱해져야 합니다
즉 a가 2의 배수라는 것이죠
그러니 a=2p라고 해도 되겠습니다(단, p는 정수)
대입해봅시다!
2b2=(2p)2
2b2=4p2
양변을 2로 나누면
b2=2p2
등식이 성립하려면 오른쪽에 2가 곱해져 있으니 왼쪽에도 2가 곱해져야 합니다
즉 b도 2의 배수네요
이상한 점이 있지 않나요?
아까 분명 a와 b는 서로소라고 했는데 둘다 2의 배수면 서로소가 아니잖아요!!!
가정에 모순이 생겼어요
그렇다는 것은 2가 유리수가 아니라는 것이죠
실수에서 유리수가 아닌 수는 무리수입니다
그러니 2는 유리수가 아닌 수, 즉 무리수가 되는 것입니다
-증명 끝-

어려웠나요?
최대한 중학생 분들도 이해할 수 있게 쉽게 설명한다고 하긴 했는데...
그렇다고 이거 이해 안된다고 낙담하진 마세요!!
(중학생이라면 이해 안되는 것이 당연합니다)
어처피 고등학교 가면 또 배울 기회가 있을 겁니다
이런 식으로 증명할 수 있다 라는 것만 알고 한 번 보고 넘어가시면 될 것 같습니다
오류가 있다면 언제든지 댓글로 알려주세요! 감사합니다

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