[하루 5분 고등수학] 이중근호 푸는 법

<이중근호 푸는 법>

이중근호? 처음 들어보시는 분들도 있을 거라 생각합니다

쉽게 말하면 루트 안에 루트가 있는 형태입니다

예를 들어

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$$

이렇게 말이죠

 

이런 형태가 많이 등장하는 것은 아니지만 그래도 고등학교 가면 종종 등장합니다

물론 중등 과정에서는 없지만 그래도 제곱근을 배웠으니까 함께 정리하면 좋을 것 같아 글을 쓰게 되었습니다!

 

이중근호를 푸는 기본적인 원리는 완전제곱식입니다

(완전제곱식에 관한 글을 작성하면 링크 걸어두겠습니다!)

$$ (\sqrt{2} + \sqrt{5}) ^ 2$$

이것 계산해 볼까요?

$$ (\sqrt{2} + \sqrt{5}) ^ 2 = 2 + 5 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10}$$

그런데 이 모양 위의 예시에서 보지 않았나요?

맞습니다 위의 예시에서 루트 안에 있었던 수입니다

그러면

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt {(\sqrt{2} + \sqrt{5}) ^ 2}$$

이것이 성립하게 되네요

제곱근의 성질에 의하여 아래 내용이 성립합니다

$$\sqrt {(\sqrt{2} + \sqrt{5}) ^ 2} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$$

 

자, 푸는 원리는 이러합니다

그러면 이제 푸는 요령을 알아야겠네요!

일반적으로 아래와 같은 내용이 성립합니다

$$\sqrt{a+b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

왜 그런지 한 번 보겠습니다

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$$

이고

$$\sqrt{a+b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

이렇게 증명할 수 있습니다!

 

연습해보겠습니다

$$\sqrt{ 4 + 2\sqrt{3}} = \; ?$$

합이 4 곱이 3이 되는 두 수를 찾아보면 1,3입니다

그러면 아까 증명한 위 성질에 의해서

$$\sqrt{ 4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{1 + 3 + 2\sqrt{1 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{1} + \sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3}$$

이렇게 답을 찾아낼 수 있습니다

 

그런데 좀 어려운 경우에는 이런 식으로 주어지기도 합니다

$$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \; ?$$

하지만 방법은 똑같습니다

$$\sqrt{a+b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

이 모양을 만들어주시면 됩니다

$$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{11 + 2 \times 3\sqrt{2}} = \sqrt{11 + 2\sqrt{18}}$$

$$\sqrt{11 + 2\sqrt{18}} = \sqrt{2 + 9 + 2\sqrt{2 \times 9}} = \sqrt{2} + 3$$

조금 복잡하죠...?

 

이런 경우도 있습니다

$$\sqrt{5 + \sqrt{21}} = \; ? $$

뭔가 이상하죠? 앞에 \(\sqrt{21}\)앞에 2가 곱해져 있지 않습니다

그러면 어떻게 하면 될까요? 2를 만들어주면 됩니다

$$\sqrt{\frac{5 \times 2 + 2\sqrt{21}}{2}}$$

이러면 2가 곱해졌네요

이제 똑같이 푸시면 됩니다!

$$\sqrt{\frac{5 \times 2 + 2\sqrt{21}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + 7 + 2\sqrt{3 \times 7}}{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{2}}$$

분모에 루트가 있으면 유리화 해주셔야 합니다

$$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \times (\sqrt{3} + \sqrt{7})} {2} = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{14}}{2}$$

많이 복잡하죠...

앞서 말했듯이 빈도수가 높게 출제되는 것은 아니지만 그래도 알아야 하는 개념이니

연습하시면 금방 계산할 수 있으실 겁니다!

오류가 있다면 댓글로 언제든지 알려주세요! 감사합니다